Rappresentazione di un dominio in R^2

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Questo articolo è dedicato a fornire esempi pratici della rappresentazione di un dominio nel piano cartesiano. Nello studio di funzioni in due variabili o nella risoluzione di integrali doppi, tale step preliminare è essenziale al fine di formarsi un’idea precisa della geometria dell’insieme su cui si sta operando, così da adottare i provvedimenti più opportuni al caso in esame.
Questa raccolta è divisa in due parti:

Nella prima sezione presentiamo 16 esercizi completamente risolti e illustrati su questo argomento;
Nella seconda sezione offriamo al lettore ulteriori 13 esercizi di cui forniamo soltanto il risultato finale, illustrato, per consentirgli di mettersi alla prova e applicare quanto appreso dallo studio della prima parte.

La raccolta è quindi particolarmente indicata per gli appassionati e per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 2, così da affrontare con solide basi lo studio della materia.
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Oltre a Massimi e minimi vincolati – Esercizi – Volume 2, segnaliamo il seguente materiale su argomenti correlati:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Esercizi misti risolti

$\quad$

Esercizio 1.1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 0 \le x \le 1, \, 0\le y \le 1 \right\}.$

Svolgimento.

Graficamente $D$ è rappresentato dalla parte di piano compresa nel quadrato con un vertice nell’origine e lato pari ad uno, giacente nel primo quadrante. Di seguito, in figura, rappresentiamo in blu $D$ .

$\quad$

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Esercizio 1.2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, \dfrac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \right\}.$

Svolgimento.

Il sostegno dell’equazione $\dfrac{x^2}{4}+y^2 =1$ è un’ellisse centrata nell’origine. Per verificare la disuguaglianza $\dfrac{x^2}{4}+y^2 \le 1$ , prendiamo tutti i punti interni al sostegno di tale grafico, compreso il bordo, come in figura.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

Esercizio 1.3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, :\, 0 \le x \le 2, \, 0 \le y \le \sqrt{2x-x^2}\right\}.$

Svolgimento.

Si consideri

$y=\sqrt{2x-x^2}.$

Elevando al quadrato ambo i membri di questa relazione si ottiene

$x^2+y^2-2x=0,$

ovvero una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio pari a $1$ . Dunque, deduciamo che $y=\sqrt{2x-x^2}$ è la parte superiore della semicirconferenza; in altri termini, il sostegno della funzione $y=\sqrt{2x-x^2}$ è il semicerchio delimitato dalla circonferenza di equazione $(x-1)^2+y^2=1$ nel primo quadrante. Graficamente si ha il seguente grafico.

$\quad$

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Esercizio 1.4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, :\, 0 \le x \le 2, \, 0 \le y \le 2x-x^2\right\}.$

Svolgimento.

Osserviamo che $y=2x-x^2$ è una parabola con vertice $V=(1,1)$ e con la concavità rivolta verso il basso. Pertanto $D$ è la parte di piano compresa tra la parabola di vertice $V=(1,1)$ , passante per $(2,0)$ e per l’origine degli assi e l’asse delle ascisse. Graficamente $D$ si rappresenta come segue

$\quad$

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Esercizio 1.5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 0 \le x \le 1, \, x^2 \le y \le x \right\}.$

Svolgimento.

Graficamente $D$ si rappresenta come segue

$\quad$

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$\quad$

ed è la parte di piano compresa tra la parabola di vertice $V(0,0)$ , passante per $(1,1)$ e la retta di equazione $y=x$ con $x \in [0,1]$ .

Esercizio 1.6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, 0 \le x \le 1, \, x^2 \le y \le \sqrt{x} \right\}.$

Svolgimento.

Graficamente $D$ si rappresenta come segue

$\quad$

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$\quad$

ed è la parte di piano compresa dalla curva $y=\sqrt{x}$ e la parabola $y=x^2$ con $x \in [0,1]$

Esercizio 1.7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, x^2+y^2\le1 , y \ge -x+1\}.$

Svolgimento.

L’equazione $x^2+y^2=1$ è una circonferenza di raggio unitario con origine nell’originale e che $y=-x+1$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante traslata del vettore di componenti $\vec{v}=(0,1)$ . Pertanto, prendendo per la circonferenza la parte interna e per la retta la parte “superiore”, si ottiene il dominio $D$ in figura.

$\quad$

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Esercizio 1.8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 1 \le x^2+y^2 \le 4, \, x \geq 0, y \geq 0\right\}.$

Svolgimento.

Il dominio $D$ è la parte di corona circolare compresa fra le circonferenze di equazioni $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=4$ nel primo quadrante. Di seguito, in figura, la zona colorata in celeste rappresenta il dominio $D$ .

$\quad$

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Esercizio 1.9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, -2 \le x \le 2, \, 1 \le x^2+y^2 \le 4, \, y \geq0\right\}.$

Svolgimento.

Il dominio $D$ è la parte di corona circolare compresa fra le circonferenze di equazioni $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=4$ nel semipiano positivo delle ordinate. Di seguito, in figura, la zona colorata in celeste rappresenta il dominio $D$ .

$\quad$

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Esercizio 1.10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,:\,x \ge 0, y \ge 0,\, 4\le 4x^2+y^2 \le 16\}.$

Svolgimento.

Poiché siccome $x\geq 0$ e $y\geq 0$ possiamo ristringere lo studio al primo quadrante. Riscriviamo la disuguaglianza $4\le 4x^2+y^2 \le 16$ come segue

$4\le 4x^2+y^2 \le 16\quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 4x^2+y^2\geq 4\\ 4x^2+y^2\leq 16 \end{cases}\quad \Leftrightarrow \quad\begin{cases} x^2+\dfrac{y^2}{4}\geq 1\\\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}\leq 1. \end{cases}$

Le equazioni $x^2+\dfrac{y^2}{4}= 1$ e $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1$ rappresentano il sostegno di due ellissi centrate nell’origini, pertanto, la disuguaglianza $4\le 4x^2+y^2 \le 16$ rappresenta una corona ellittica. Dato che restringiamo il nostro dominio al primo quadrante, perché $x\geq 0$ e $y \geq 0$ , si ottiene il seguente grafico.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Il dominio $D$ è la zona colorata in celeste.

Esercizio 1.11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, y\leq x\,,\,y \geq -x\,,\, \dfrac{\pi}{2}\leq x^2+y^2\leq \pi \right\}.$

Svolgimento.

Osserviamo che $y=x$ è la bisettrice del primo e quarto quadrante e che $y=-x$ è la bisettrice del secondo e quarto. Per $y\leq x$ si ha il seguente grafico.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Mentre per $y\geq -x$ si ha il seguente grafico.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Osserviamo che la disuguaglianza $\dfrac{\pi}{2}\leq x^2+y^2\leq \pi$ è una corona circolare, dove la circonferenza interna ha raggio $\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$ e quella esterna $\sqrt{\pi}$ . Nella figura che segue è rappresentata la corona circolare.

$\quad$

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$\quad$

Facendo l’intersezione tra i domini rappresentati si ottiene il seguente grafico.

$\quad$

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$\quad$

La parte colorata rappresenta $D$ .

Esercizio 1.12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,x^2+y^2\leq 1,\,x+\lvert y\rvert>0\bigr\}.$

Svolgimento.

Analizziamo separatamente le due condizioni. L’equazione $x^2+y^2=1$ è una circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine. Per verificare la disequazione $x^2+y^2\leq 1$ dobbiamo prendere tutti i punti interni alla circonferenza incluso il bordo, come in figura.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

L’equazione $x+\left \vert y \right \vert =0$ può essere riscritta come segue

$x=\begin{cases} -y\quad &\text{se $y\geq 0$}\\ y&\text{se $y<0$}. \end{cases}$

L’equazione $y=x$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre $y=-x$ è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Pertanto, per soddisfare $x+\left \vert y \right \vert >0$ dobbiamo prendere la zona colorata nella figura che segue.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Facendo l’intersezione tra i due grafici, rappresentanti nelle figure precedenti, si ottiene il dominio $D$ .

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

La zona celeste è il dominio $D$ .

Esercizio 1.13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \; y \le x \le \sqrt{1-y^2} \right\}.$

Svolgimento.

L’equazione $y=x$ è la bisettrice del primo e terzo quadrante. Pertanto, imponendo $y\leq x$ si ottiene il seguente grafico .

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

L’equazione $x=\sqrt{1-y^2}$ rappresenta una semicirconferenza con centro nell’origine, raggio pari ad $1$ , e diametro giacente sull’asse delle $y$ . Imponendo $x\leq \sqrt{1-x^2}$ si ottiene il seguente grafico.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Ora, facendo l’intersezione tra i due precedenti domini, e considerando la condizione $0\leq y \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , si ottiene il seguente grafico.

$\quad$

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$\quad$

La zona celeste è il dominio $D$ .

Esercizio 1.14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \ge \dfrac{1}{4}, \; \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2\le\dfrac{1}{4} \right\}.$

Svolgimento.

Osserviamo che $x^2+y^2 = \dfrac{1}{4}$ è una circonferenza di raggio $1/2$ con centro nell’origine degli assi cartesiani e $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$ è una circonferenza con raggio $1/2$ e centro in $(1/2,0)$ . La disequazione $x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}$ è verificata per tutti i punti $(x,y)$ esterni alla circonferenza di equazione $x^2+y^2=\dfrac{1}{2}$ e la disequazione $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2\le\dfrac{1}{4}$ è verificata per tutti i punti $(x,y)$ interni alla circonferenza di equazione $\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$ . Dunque, rappresentando le circonferenze e facendo l’intersezione tra le due disequazione, si ottiene il seguente grafico.

$\quad$

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$\quad$

La zona celeste rappresenta il dominio $D$ .

Esercizio 1.15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le 1, \; x^2+y^2\le 2y, \; x \le 0 \right\}.$

Svolgimento.

Osserviamo che $x^2+y^2=1$ è una circonferenza di raggio unitario e centro nell’origine, inoltre, $x^2+y^2=2y$ è una circonferenza con centro in $(0,1)$ e raggio pari ad $1$ . Procedendo come nei precedenti esercizi, ovvero prendendo i punti interni $(x,y)$ alla circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$ perché deve essere soddisfatta la disequazione $x^2+y^2\leq 1$ , e prendendo i punti interni $(x,y)$ alla circonferenza di equazione $x^2+y^2=2y$ perché deve essere soddisfatta la disequazione $x^2+y^2\leq 2y$ , e considerando anche la condizione $x\leq 0$ , otteniamo il seguente grafico.

$\quad$

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Esercizio 1.16 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x^2+y^2\le 4, \; \vert y \vert \ge 1 \right\} \cup \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 1\le x^2+y^2\le4, \; x\le 0 \right\}.$

Svolgimento.

L’insieme $D$ è dato dall’unione di due insiemi.

Il primo insieme

$D_1=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, x^2+y^2\le 4, \; \vert y \vert \ge 1 \right\}$

essendo $x^2+y^2 = 4$ l’equazione cartesiana della circonferenza centrata nell’origine e avente raggio pari a $2$ e $\vert y \vert = 1$ le equazioni cartesiane $y=1$ e $y=-1$ delle rette parallele all’asse $x$ , si rappresenta come segue.

$\quad$

rappresentazione di un dominio

$\quad$

Il secondo insieme è

$D_2 = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, 1\le x^2+y^2\le4, \; x\le 0 \right\}$

essendo $1\le x^2+y^2 \le 4$ la corona circolare delimitata dalle circonferenze concentriche di equazione cartesiana $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=4$ con centro nell’origine e raggio, rispettivamente, pari a $1$ e $2$ , si rappresenta come segue.

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$\quad$

Unendo le due regioni, otteniamo la rappresentazione grafica di $D$ .

$\quad$

rappresentazione di un dominio

Esercizi non risolti. Mettiti alla prova.

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In questa sezione proponiamo una serie di esercizi non risolti. Alla fine del paragrafo il lettore troverà solo la rappresentazione grafica del dominio.

Esercizio 2.1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1\le x^2+y^2 \le 9, \; (x-2)^2+y^2 \ge \dfrac{1}{4}, \; x \ge 0, \; y \ge 0\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

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Esercizio 2.2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^2+y^2\le 1, \; x^2+(y-1)^2\ge 1, \; y \ge 0 \right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

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Esercizio 2.3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+2y^2\le 1, \; x \ge 0, \; y \ge 0\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura. rappresentazione di un dominio

Esercizio 2.4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio:

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le 1, \; x^2+y^2\le 2x, \; y \ge 0 \right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

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Esercizio 2.5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \; y \le x \le \sqrt{1 -y^2}\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 \le y \le 2x^2, \; 1 \le x \le 2 \right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

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Esercizio 2.7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\vert -1\le x\le-\dfrac{1}{2},\,4x\le y\le \dfrac{1}{x}\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

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Esercizio 2.8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : -1\le x \le 0, \; 1 \le y \le x^2+2\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$D=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^2+y^2\le1, \; x^2+(y-1)^2\ge 1, \; y \ge 0 \right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^2+y^2\le1, \; x^2+(y-1)^2\le 1 \right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0\leq x-y\leq 1\leq x+y\leq 3\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 :e^{3x}\leq y\leq e^{3x}+1,\,\, 2-e^{3x}\leq y\leq 3-e^{3x}\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Esercizio 2.13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Rappresentare graficamente il seguente dominio

$\mathcal{S}=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x+y \le 1,\,\,x\geq 0,\,\,y \geq 0\right\}.$

Risultato.

Il grafico del dominio $D$ è la zona colorata in figura.

$\quad$

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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